Área de um triângulo inscrito??

Dadas a circunferência x² + y² - 3y - 1 = 0 e a reta 3x + 2y - 508 = 0, determine a área de um triângulo inscrito na circunferência e com lados paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada.
Solução:
circunferência:x² + y² - 3y - 1 = 0
x² + (y-3/2)²=13/4
Centro: C(0,3/2) e raio √13 /2
reta y = -3x/2 + 254
Uma reta paralela a essa passará no centro da circunferência,designando a hipotenusa:equação da hipotenusa : Tem a= -3/2 e passa em (0,3/2)
y=ax+b3/2 = 0+b => b=3/2
hipotenusa: y= -3x/2+3/2 ou 2y= -3x+3 ou 3x+2y -3 = 0
Pontos de cruzamento entre a hipotenusa e a circunferência:
substituindo y= -3x/2+3/2,vem:
x² + (-3x/2+3/2 -3/2)²=13/4x² + 9x²/4 = 13/4
4x²+9x² = 13
13x² = 13
x= ±1
para x= -1 => y= 3 ,P(-1,3)
para x=+1 => y =0 ,Q(+1,0)
P e Q são os pontos onde a hipotenusa corta a circunferência.
Um dos catetos é paralelo ao eixo X e outro, ao eixo Y.Faça um esboço da hipotenusa no gráfico e vc vai ver que:O cateto paralelo ao eixo Y, deverá ter a abcissa de P, portanto, a eq. do cateto é x= -1 e o ponto é T(-1,0), e o cateto paralelo ao eixo X,deve ter a ordenada de Q,isto é, y=0(equação da reta do cateto).Para calcular a área, basta usar a fórmula da Geometria Analítica:
Área de PQT:
S = (1/2).D, D=determinante
D =-1..1..-1..-1
......3...0...0....3
= 0+0-3-3-0-0 = -6
D = 6
Logo S = (1/2)D
=(1/2).6 = 3ua
Logo, a área do triângulo é 3ua.

Triângulos isósceles inscritos ?

Determine as áreas dos triângulos isósceles inscritos na circunferência (x - 1)² + (y + 2)² = 100 e que tem base sobre a reta 3x - 4y + 19 = 0.
solução:
(x-1)² + (y+2)² =100
C(1,-2) e raio = 10
reta : 3x-4y+19=0
-4y = -3x -19
y = 3x/4 +19/4 , reta suporte às bases dos triângulos isósceles.Para achar os pontos de interseção da reta suporte com a circunferência, basta substituir y=3x/4+19/4 na equação da circunferência:
(x-1)² + (3x/4 +19/4+2)² =100
resolvendo,temos:
x' = -9 , y =3(-9)/4 + 19/4 = -2 , P(-9,-2)
x"=19/5 , y= 3(19/5)/4 + 19/4 = 38/5, Q(19/5 , 38/5)
Para descobrir os vértices dos triângulos,devo tomar uma reta perpendicular à reta suporte(da base),que passe no centro da circunferência. Essa reta irá cortar a circunferência em 2 pontos, que serão os vértices dos triângulos.Lembrando que 2 vértices já estão encontrados, são os pontos P e Q . Vc terá 2 triângulos isósceles, unidos a partir da base. Eles estarão em sentidos opostos(um pra cima e outro pra baixo).reta perpendicular à reta 3x - 4y + 19 = 0
: a = -1/(3/4) = -4/3 , que passa em C(1,-2)
y=ax+b-2 = (-4/3)1+b => b= -2/3
y= -4x/3 -2/3
Fazendo a interseção da reta com a circunferência, chego em 2 pontos, que são:
A(-5,6) e B(7, -10)
Então temos os triângulos:PQA e PQBÁrea de PQA: S =(1/2)D
D =-9..3,8..-5...-9
......-2...7,6...6...-2

-68,4+22,8 +10 +7,6 +38+54 = 64
Logo S = 64/2 =32 ua
Área de PQB:
S=(1/2)D
D =-9..3,8......7...-9
......-2...7,6..-10...-2
-68,4 -38 -14 +7,6 -53,2-90 = 256
Logo
S = 256/2 = 128 ua

Qual a área(Geom.Analítica)?

os pontos A(1,1), B(4,7) e C(x, y) sao vertices de um triangulo retangulo.Areta que passa pelos pontos A e B é suporte da hipotenusa, e a reta y-x=0 é o suporte do cateto adjacente ao angulo A.Calcule a área desse triângulo.

solução:

Equação da hipotenusa AB:

.x...y...1

1...1...1 =0

4...7...1

x +4y+7 -4-y-7x =0

3y -6x+3=0

y = 2x - 1 (hipotenusa)

y=x (reta suporte do cateto)

Cruzamento entre a hipotenusa e o cateto2x-1 = x ,x=1, y=1 (a hipotenusa e o cateto se cruzam no ponto A(1,1)

A equação da reta do outro cateto forma um ângulo de 90º com o outro cateto. A equação da reta desse último cateto será perpendicular à reta y=x e passará no ponto B(4,7).Logo:

y=x => a=1

equação do outro cateto:

a= -1, passando em B(4,7)

y=ax+b7 =(-1)(4) +b

b = 11

Logo, y= -x+11 (equação da reta do segundo cateto)

O ponto de cruzamento entre y=x e y= -x+11 é o ponto C

x = -x+11

2x=11

x=11/2y = 11/2

Logo, o ponto C é (11/2 , 11/2)

E a área do triângulo retângulo é:

S = (1/2)D

.5,5...5,5...1

...1......1.....1 = D

...4......7.....1

5,5 + 22+7 -4 - 38,5-5,5 = -13,5 ou -27/2

D = 27/2

S = (1/2)(27/2) = 27/4 ua

A área da figura é 27/4 u.c.

Questão casca grossa

Determinem valores de X para os quais:
-2h(x+5) < 0 e
h(2x)>0
Sabendo que os zeros da função são: -3 ; 1 e 2
f(0)= 2
------------------------------------------------------------------------------------------------
Usei para resolvê-la, noções sobre funções lineares, regra de Cramer e Briot-Ruffini(polinômios). Deu uma trabalheira danada, daquelas questões que o professor põe na prova pra "judiar" dos alunos, hehehe...
Solução:

h(x)?
Sabendo que
h(-3)=0
h(1)=0
h(2)=0
h(0)=2
Como foi dito que os zeros da função são -3,2 e 1, logo a função h(x) é no mínimo do 3º grau.Assim:
h(x) = ax³+bx²+cx+d
Como
h(0)=2 => a.0³+b.0²+c.0 +d =2 , logo d=2
h(1) = 0 =>a+b+c+2 = 0 (1)
h(2) = 0 => 8a+4b+2c +2 = 0 (2)
h(-3)=0 => -27a+9b -3c+2 = 0 (3)
Essas 3 equações geram um sistema linear.Resolvendo pela regra de Cramer, encontrei:
a = 1/3 , b = 0 e c= -7/3 , logo:
(omiti o desenvolvimento por Cramer, por que senão, a resolução ficaria imensa)
h(x) = x³/3 -7x/3 +2
1)
Foi dito que h(2x) >0
h(2x) = (2x)³/3 -7(2x)/3 + 28x³/3 -14x/3 +2 >0
8x³ -14x + 6 >0
P(1) = 0, por Briot-Ruffini:
1..8..0..-14..+6
.....8..8....-6....0
Logo:8x² +8x -6 =0
∆ = 256
√∆ = 16
x =(-8±16)/16
x' = -3/2
x" =+1/2
Assim,h(2x) pode ser fatorado em:(x-1)(x+3/2)(x-1/2)>0
Estudo dos zeros da função:
(-)...(+)...(-)..(+)-
--o-----o---o--->
-3/2...1/2...1

S=]-3/2 ,1/2[ U ]1,+∞[

2)
-2h(x+5) <>
2h(x+5) >0
h(x+5) = (x+5)³/3 -7(x+5)/3 +2= (x+5)³ -7(x+5) +6=x³ +15x²+75x + 125 -7x-35 +6= x³+15x²+68x+96
2h(x+5) = 2x³ +30x² +136x +1922x³+30x² +136x +192 >0
P(-3) = 0 (-3 é raiz da equação)
Logo, por Briot-Ruffini:
-3.2...30...136...192
.....2...24....64......0
2x² +24x+64 = 0
∆=576 -512 =64
√∆ = 8
x = (-24±8)/4
x' = -8
x" = -4
Logo, a função pode ser fatorada como:(x+3)(x+4)(x+8) >0
Resolvendo,temos:
S = ]-8,-4[ U ]-3,+∞ [

Qual é a área da região limitada por x = 0, y = 0 e pelo gráfico de f(x)?

Mais uma questão do YR. Foi dado apenas a definição da função.O desenho acima já é a resolução. A questão é simples, bastando saber fazer o gráfico e calcular a área da figura formada.Para o cálculo da área, usei a fórmula da Geometria Analítica mostrada na figura acima. A resposta também está na figura.

Os termos do 1º membro da equação: 3+6+...+x =381 formam uma P.G.Calcule o valor de x?

A questão se refere a uma soma finita de PG, apesar de aparecerem reticências. O que se deve atentar é que a Pg tem um termo inicial(3), um termo final(x) e uma soma (381). Aplique a fórmula da soma finita de PG:

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

com Sn=381 , q=a2/a1=2, a1=3,mas não sabemos quanto vale n:

381 = 3(1-2^n)/(1-2)

resolvendo, chegamos em n= 7, logo essa PG tem 7 termos, isso indica que "x" é o sétimo termo da PG.Para saber o valor de x, aplique a fórmula do termo geral, com an=a7.Assim:

x = 3 . 2^(7-1) => x=192.

Qual o comprimento do círculo??

Essa é mais uma questão do YR.Deseja-se saber qual é o comprimento do círculo que está inscrito num quarto de círculo, de raio 2.A questão inicialmente está na cor preta, os desenhos em cores são a resolução.Prolongando uma reta,saindo de Q até chegar em M.O segmento QM vale 2,e QM= raio do círculo+hipotenusa de QTP.Uma vertical saindo do centro do círculo(P),até cortar o eixo horizontal,forma a altura de QTP e QM forma um ângulo de 45º com a horizontal. Para calcular o comprimento do círculo,basta descobrir quanto vale 'a',que é facilmente descoberto usando sen45º.Em seguida,substitua a por (2-R) e achará quanto vale o raio R.R vale
2(√2-1) e o comprimento C= 2 πR = 2π[2(√2-1)] = 4π(√2-1) .

Questão do incentro

"Considere um triangulo ABC e seu incentro I. Sejam M e N pontos do lado BC tais que o segmento MI é paralelo a AB e NI a AC. Sabendo que AB=8cm, AC=10cm e BC=12, o perimetro do triangulo MIN é:
O ângulo C é igual ao ângulo N,tendo o valor do Raio R, calculado pela lei dos senos,só precisarei saber o valor de senC. Com esse valor, consigo achar o lado NI, aplicando senN = R/NI. Por semelhança de triângulos,descubro os outros lados:
NI/AC = MI/AB = MN/BC

Outra questão da Tainá

É desse jeito que seu desenho ficará.Procure colocar os pontos nos eixos...Não coloquei nesse gráfico porque eu tô usando o Paint pra fazê-los, e é muito demorado,ficar desenhando cada ponto. É apenas pra vc ter uma idéia do que vai fazer.

Questão da Tainá

Questão da Tainá

Fiz as retas dos ítens a) e b), pra saber como fazer...Ficou faltando os ítens c) e d)...O procedimento é simples:

1) Plotar os pontos no gráfico(x,y)

2) Unir os pontos, formando uma reta

Questão da Andrea

Aí está o desenho do triângulo retângulo que pedi pra vc desenhar.Perceba que o ângulo entre a mediana e a altura,vale 30º, é só observar o triângulo ABQ, A mede 30º, Q=90º, e B =beta+30º = 60º , logo beta vale 30º.Os lados PB,PA,PC e BC são congruentes, e valem 7,5cm.

Questões interessantes de matemática

1)José entra em uma igreja onde tinha 3 santos..ele chega no primeiro e pede. Se o senhor dobrar o dinheiro..?que tenho em mãos eu lhe dou R$20,00 o santo dobrou e ele deu R$20,00......chegou no segundo santo e fez o mesmo pedido o santo dobrou e ele deixou R$ 20,00....chegou ´no terceiro e último santo e fez o mesmo pedido, o santo dobrou ele deu R$ 20,00 ao santo e saiu duro da igreja. Quanto José tinha de dinheiro qdo chegou na igreja ???

2)Qual é a raiz quadrada de 2 (raiz quadrada de 2(raiz quadrada de 2(raiz quadrada de 2(raiz quadrada de 2... ?

3)Uma sala tem 5m de comp 4m de larg e 3m de altura. uma mosca parte do chão, de um canto da sala, voa para o teto e pousa no canto diagonalmente oposto.
a) qual é o módulo de deslocamento da mosca?
b)a distância percorrida pela mosca pode ser menor do que esse valor?maior do que ele?igual a ele?
c)escolha um sistemade coordenadas apropriado e calcule as componentes do vetor deslocamento neste sistema.
d)se a mosca decide andar e não voar qual a menor distancia que ela tera que percorre?

Espaço aberto para a matemática

Olá pessoal...Estou iniciando como "blogueiro" do mundo virtual...Abri esse blog para discutir,resolver, solucionar os diversos problemas e exercícios postados no YR(Yahoo Respostas), na categoria "matemática".Colocarei aqui resoluções de alguns exercícios, gráficos ou qualquer outra coisa que as pessoas tenham dúvida.Tentarei ajudar da melhor maneira possível, dentro das minhas capacidades...É claro que não sou um "EXPERT " em matemática, apenas gosto da matéria...Ainda assim,o que eu não conseguir resolver, vou correr atrás da resposta...Bom, acho que pra começo de conversa, isso já é o suficiente...Obrigado pela atenção!