Área de um triângulo inscrito??

Dadas a circunferência x² + y² - 3y - 1 = 0 e a reta 3x + 2y - 508 = 0, determine a área de um triângulo inscrito na circunferência e com lados paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada.
Solução:
circunferência:x² + y² - 3y - 1 = 0
x² + (y-3/2)²=13/4
Centro: C(0,3/2) e raio √13 /2
reta y = -3x/2 + 254
Uma reta paralela a essa passará no centro da circunferência,designando a hipotenusa:equação da hipotenusa : Tem a= -3/2 e passa em (0,3/2)
y=ax+b3/2 = 0+b => b=3/2
hipotenusa: y= -3x/2+3/2 ou 2y= -3x+3 ou 3x+2y -3 = 0
Pontos de cruzamento entre a hipotenusa e a circunferência:
substituindo y= -3x/2+3/2,vem:
x² + (-3x/2+3/2 -3/2)²=13/4x² + 9x²/4 = 13/4
4x²+9x² = 13
13x² = 13
x= ±1
para x= -1 => y= 3 ,P(-1,3)
para x=+1 => y =0 ,Q(+1,0)
P e Q são os pontos onde a hipotenusa corta a circunferência.
Um dos catetos é paralelo ao eixo X e outro, ao eixo Y.Faça um esboço da hipotenusa no gráfico e vc vai ver que:O cateto paralelo ao eixo Y, deverá ter a abcissa de P, portanto, a eq. do cateto é x= -1 e o ponto é T(-1,0), e o cateto paralelo ao eixo X,deve ter a ordenada de Q,isto é, y=0(equação da reta do cateto).Para calcular a área, basta usar a fórmula da Geometria Analítica:
Área de PQT:
S = (1/2).D, D=determinante
D =-1..1..-1..-1
......3...0...0....3
= 0+0-3-3-0-0 = -6
D = 6
Logo S = (1/2)D
=(1/2).6 = 3ua
Logo, a área do triângulo é 3ua.

Triângulos isósceles inscritos ?

Determine as áreas dos triângulos isósceles inscritos na circunferência (x - 1)² + (y + 2)² = 100 e que tem base sobre a reta 3x - 4y + 19 = 0.
solução:
(x-1)² + (y+2)² =100
C(1,-2) e raio = 10
reta : 3x-4y+19=0
-4y = -3x -19
y = 3x/4 +19/4 , reta suporte às bases dos triângulos isósceles.Para achar os pontos de interseção da reta suporte com a circunferência, basta substituir y=3x/4+19/4 na equação da circunferência:
(x-1)² + (3x/4 +19/4+2)² =100
resolvendo,temos:
x' = -9 , y =3(-9)/4 + 19/4 = -2 , P(-9,-2)
x"=19/5 , y= 3(19/5)/4 + 19/4 = 38/5, Q(19/5 , 38/5)
Para descobrir os vértices dos triângulos,devo tomar uma reta perpendicular à reta suporte(da base),que passe no centro da circunferência. Essa reta irá cortar a circunferência em 2 pontos, que serão os vértices dos triângulos.Lembrando que 2 vértices já estão encontrados, são os pontos P e Q . Vc terá 2 triângulos isósceles, unidos a partir da base. Eles estarão em sentidos opostos(um pra cima e outro pra baixo).reta perpendicular à reta 3x - 4y + 19 = 0
: a = -1/(3/4) = -4/3 , que passa em C(1,-2)
y=ax+b-2 = (-4/3)1+b => b= -2/3
y= -4x/3 -2/3
Fazendo a interseção da reta com a circunferência, chego em 2 pontos, que são:
A(-5,6) e B(7, -10)
Então temos os triângulos:PQA e PQBÁrea de PQA: S =(1/2)D
D =-9..3,8..-5...-9
......-2...7,6...6...-2

-68,4+22,8 +10 +7,6 +38+54 = 64
Logo S = 64/2 =32 ua
Área de PQB:
S=(1/2)D
D =-9..3,8......7...-9
......-2...7,6..-10...-2
-68,4 -38 -14 +7,6 -53,2-90 = 256
Logo
S = 256/2 = 128 ua

Qual a área(Geom.Analítica)?

os pontos A(1,1), B(4,7) e C(x, y) sao vertices de um triangulo retangulo.Areta que passa pelos pontos A e B é suporte da hipotenusa, e a reta y-x=0 é o suporte do cateto adjacente ao angulo A.Calcule a área desse triângulo.

solução:

Equação da hipotenusa AB:

.x...y...1

1...1...1 =0

4...7...1

x +4y+7 -4-y-7x =0

3y -6x+3=0

y = 2x - 1 (hipotenusa)

y=x (reta suporte do cateto)

Cruzamento entre a hipotenusa e o cateto2x-1 = x ,x=1, y=1 (a hipotenusa e o cateto se cruzam no ponto A(1,1)

A equação da reta do outro cateto forma um ângulo de 90º com o outro cateto. A equação da reta desse último cateto será perpendicular à reta y=x e passará no ponto B(4,7).Logo:

y=x => a=1

equação do outro cateto:

a= -1, passando em B(4,7)

y=ax+b7 =(-1)(4) +b

b = 11

Logo, y= -x+11 (equação da reta do segundo cateto)

O ponto de cruzamento entre y=x e y= -x+11 é o ponto C

x = -x+11

2x=11

x=11/2y = 11/2

Logo, o ponto C é (11/2 , 11/2)

E a área do triângulo retângulo é:

S = (1/2)D

.5,5...5,5...1

...1......1.....1 = D

...4......7.....1

5,5 + 22+7 -4 - 38,5-5,5 = -13,5 ou -27/2

D = 27/2

S = (1/2)(27/2) = 27/4 ua

A área da figura é 27/4 u.c.

Questão casca grossa

Determinem valores de X para os quais:
-2h(x+5) < 0 e
h(2x)>0
Sabendo que os zeros da função são: -3 ; 1 e 2
f(0)= 2
------------------------------------------------------------------------------------------------
Usei para resolvê-la, noções sobre funções lineares, regra de Cramer e Briot-Ruffini(polinômios). Deu uma trabalheira danada, daquelas questões que o professor põe na prova pra "judiar" dos alunos, hehehe...
Solução:

h(x)?
Sabendo que
h(-3)=0
h(1)=0
h(2)=0
h(0)=2
Como foi dito que os zeros da função são -3,2 e 1, logo a função h(x) é no mínimo do 3º grau.Assim:
h(x) = ax³+bx²+cx+d
Como
h(0)=2 => a.0³+b.0²+c.0 +d =2 , logo d=2
h(1) = 0 =>a+b+c+2 = 0 (1)
h(2) = 0 => 8a+4b+2c +2 = 0 (2)
h(-3)=0 => -27a+9b -3c+2 = 0 (3)
Essas 3 equações geram um sistema linear.Resolvendo pela regra de Cramer, encontrei:
a = 1/3 , b = 0 e c= -7/3 , logo:
(omiti o desenvolvimento por Cramer, por que senão, a resolução ficaria imensa)
h(x) = x³/3 -7x/3 +2
1)
Foi dito que h(2x) >0
h(2x) = (2x)³/3 -7(2x)/3 + 28x³/3 -14x/3 +2 >0
8x³ -14x + 6 >0
P(1) = 0, por Briot-Ruffini:
1..8..0..-14..+6
.....8..8....-6....0
Logo:8x² +8x -6 =0
∆ = 256
√∆ = 16
x =(-8±16)/16
x' = -3/2
x" =+1/2
Assim,h(2x) pode ser fatorado em:(x-1)(x+3/2)(x-1/2)>0
Estudo dos zeros da função:
(-)...(+)...(-)..(+)-
--o-----o---o--->
-3/2...1/2...1

S=]-3/2 ,1/2[ U ]1,+∞[

2)
-2h(x+5) <>
2h(x+5) >0
h(x+5) = (x+5)³/3 -7(x+5)/3 +2= (x+5)³ -7(x+5) +6=x³ +15x²+75x + 125 -7x-35 +6= x³+15x²+68x+96
2h(x+5) = 2x³ +30x² +136x +1922x³+30x² +136x +192 >0
P(-3) = 0 (-3 é raiz da equação)
Logo, por Briot-Ruffini:
-3.2...30...136...192
.....2...24....64......0
2x² +24x+64 = 0
∆=576 -512 =64
√∆ = 8
x = (-24±8)/4
x' = -8
x" = -4
Logo, a função pode ser fatorada como:(x+3)(x+4)(x+8) >0
Resolvendo,temos:
S = ]-8,-4[ U ]-3,+∞ [